Hur gör man en potentialvandring (inom elläran)?
Potentialvandring används för att bestämma den elektriska potentialen (\(U\), i enheten (\(V\) [Volt]) i en godtyckligt vald punkt i en krets, och den potential som mäts upp är detsamma som spänningen mellan jord och den valda punkten. Spänning definieras därför som potentialskillnaden mellan två godtyckligt valda punkter. Ett ställe i en elektrisk krets som är jordad har potentialen noll, vilket är anledningen till varför man oftast börjar sin potentialvandring där.
När man utför en potentialvandring brukar man oftast stöta på två frågetecken, eller saker man måste ta med i beräkningarna i sin potentialvandring. Saker som bestämmer vad den slutgiltiga potentialen kommer att bli. Beteckningarna som används i redogörelsen nedan:
- Spänningen \(U\) i en spänningskälla, som mäts i \(V\) [Volt]
- Resistansen \(R\), som mäts i \( \Omega \) [Ohm]
- Strömmen \(I\), som mäts i \(A\) [Ampere]
Potentialvandring genom en resistor
- Om man utför potentialvandringen i strömmens riktning genom en resistor, sjunker potentialen med \(R \cdot I\)
- Om man utför potentialvandringen mot strömmens riktning genom en resistor, stiger potentialen med \(R \cdot I\)
Potentialvandring genom en spänningskälla (utan inre resistans)
- Om man utför potentialvandringen från pluspol till minuspol, så sjunker potentialen med \(U\)
- Om man utför potentialvandringen från minuspol till pluspol, så stiger potentialen med \(U\)
Vid potentialvandring genom en spänningskälla med inre resistans, gäller ovanstående "regler" kombinerat
Exempel på potentialvandring i en simpel krets
Låt oss illustrera hur en potentialvandring genom en simpel krets går till. Vi har ritat upp den krets som vi kommer att arbeta med här bredvid, samt benämnt intressanta punkter, resistanser och strömmar samt spänningskälla och jordpunkt. Vi vill bestämma potentialen i de rödmarkerade punkterna A och B. Vi definierar kretsens komponentvärden enligt
$$ U = 10 ~ V, ~ ~ R_1 = 3 ~ \Omega, ~ ~ R_2 = 5 ~ \Omega $$
En simpel krets för att illustrera potentialvandring
Innan vi kan påbörja vår potentialvandring behöver vi bestämma den totala resistansen \(R_{tot}\) för de två parallellkopplade resistanserna, för att kunna beräkna strömmen \(I\), samt bestämma de två strömmarna \(I_1\) och \(I_2\) för att kunna bestämma spänningen över vardera resistans. Den totala resistansen i kretsen ges av
$$ \frac{1}{R_{tot}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} ~ ~ \Longrightarrow ~ ~ R_{tot} = 1.875 ~ \Omega $$och strömmen \(I\) blir då
$$ I = \frac{U}{R_{tot}} = \frac{10 ~ V}{1.875 ~ \Omega} = \frac{16}{3} ~ A $$Delströmmarna \(I_1\) och \(I_2\) kan sedan sedan bestämmas genom strömdelning som
$$ I_1 = I\frac{R_2}{R_1+R_2} = \frac{10}{3} ~ A\\ I_2 = I\frac{R_1}{R_1+R_2} = 2 ~ A $$Vi är nu redo att påbörja vår potentialvandring, vi utgår från jord i det nedre högra hörnet, där potentialen är \(0\). För att komma till punktern A behöver vi vandra över spänningskällan \(U\) från minuspol till pluspol, vilket innebär att potentialen stiger med \(U = 10 ~ V\), och potentialen i punkten A är därför
$$ U_A = 10 ~ V $$Om vi nu fortsätter vår potentialvandring med sikte på punkten B, behöver vi vandra över resistansen \(R_2\) i strömmens riktning, vilket innebär att potentialen kommer att sjunka med den spänning \(U_2\) som ligger över resistansen \(R_2\)
$$ U_2 = I_2 \cdot R_2 = 2 ~ A \cdot 5 ~ \Omega = 10 ~ V $$Potentialen i punkten B blir då
$$ U_B = U_A - U_2 = (10 - 10) ~ V = 0 ~ V $$vilket även illustrerar Kirchoffs andra lag som vi skriver lite mer om här nedan.
Kirchoffs andra lag
En vanlig benämning när man pratar om potentialvandring är Kirchoffs andra lag, som säger att summan av alla potentialändringar i en sluten krets är noll. Innebörden av detta är att om man börjar sin potentialvandring i t.ex. punkten P, där man känner till potentialen, så kommer man efter att ha potentialvandrat genom hela kretsen tillbaka till punkt P erhålla att summan av alla potentialändringar är lika med noll.
Skrivet av Stefan Johansson
Kommentarer
Ni måste ha skrivit fel det stämmer inte att potentialen sjunker när man går från minuspol till pluspol, det är tvärtom den ökar.
Du har jätterätt, vilken blunder av oss! Tack för din kommentar och rättelse! :)
Du har en väldigt bra poäng. Syftet har inte varit att förklara "hur" potentialvandring fungerar, utan mer hur man utför en potentialvandring (som du säger). Vi skall uppdatera titeln, och får se om vi utökar artikeln framöver med lite mer information om själva begreppet. :)
Tack så mycket för din kommentar! Du har givetvis helt rätt, vi har rättat till ekvationerna nu - tack så mycket för att du uppmärksammade det! :)
Strömdelning fungerar som så att när en ström delas upp och leds genom två resistanser, så kommer strömmen genom dem vara att proportionella mot varandra med avseende på respektive resistans. Uttrycket i texten kan härledas med hjälp Kirchoffs första lag (strömlag) som säger att \(I = I_1 + I_2\) samt att vi vet att spänningen över de båda motstånden är likadan, \(U_1 = U_2 \Longleftrightarrow I_1 R_1 = I_2 R_2\).
Om vi löser ut \(I_2\) ur det första uttrycket och stoppar in i det andra så får vi
$$I_1 R_1 = (I - I_1) R_2$$
Vartefter vi kan uttrycka \(I_1\) som en funktion av \(I\), \(R_1\) och \(R_2\)
$$I_1 = I \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$
Jag hoppas att det besvarade din fråga! :)
Allt är solklart förutom hur ni uttryckte I1 som funktion av I, R1 och R2 ?
Här kommer en lite utförligare förklaring hur man kommer till \( I_1 \), sedan gör man ju samma sak för att ställa upp ett uttryck för \( I_2 \)
$$
\begin{align}
& I_1 R_1 = (I − I_1)R_2 \\
\Longrightarrow ~ & I_1 R_1 = I R_2 - I_1 R_2 \\
\Longrightarrow ~ & I_1 R_1 + I_1 R_2 = I R_2 \\
\Longrightarrow ~ & I_1(R_1 + R_2) = I R_2 \\
\Longrightarrow ~ & I_1 = I \frac{R_2}{R_1 + R_2}
\end{align}
$$
Vad menar ni med strömmens riktning?
Det är en definitionsfråga, du kan läsa mer här om du är intresserad: Elektrisk ström, Strömriktning - Wikipedia.
Det är någonting som gäller generellt för parallellkopplingar, oavsett storlek på motstånden blir spänningen densamma. För kretsen här på denna sida går det att övertyga sig att det är så genom att det följer från Kirchoffs spänningslag (Kirchoffs andra lag), som säger att summan av alla potentialändringar i en sluten krets är noll - detta innebär att oavsett vilken väg vi går genom kretsen måste summan av alla potentialändringar bli noll. Det finns två slutna kretsar/slingor, en över \( R_1 \) och en över \( R_2 \), och båda måste motsvara spänningen över spänningskällan.
Se sista texten i första delen.
"Spänningen U i en spänningskälla, som mäts i V [Volt]
Resistansen U, som mäts i Ω [Ohm]
Strömmen I, som mäts i A [Ampere]"
Ja men självklart, nu ser jag! Tack för uppmärksammandet! Ändrar på stört. :)
Vad menas med detta? Kan du visa exempel och förklara?
Ah, det som menas är att om en spänningskälla har en inre resistans så tillämpar man båda potentialförändringarna vid "vandring" över den, alltså: